0! มีค่าเท่าไหร่ มาดูคำตอบจากความน่าจะเป็น
โดยปกติ คำนิยามของแฟคทอเรียลคือ n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3)x…x 2 x 1
เพราะฉะนั้นจากนิยาม 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
คำถาม: 10! มีค่าเท่ากับเท่าไหร่
แล้ว 0! มีค่าหรือไม่ ถ้ามีมีค่าเท่าไหร่
จากนิยามเมื่อพิจารณาดูแล้ว แฟคทอเลียล นั้นน่าจะใช้นิยามสำหรับจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า ศูนย์ เพราะผลคูณทางด้านขวามือในนิยามนั้น เป็นผลคูณของจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 แต่ในคณิตศาสตร์บางครั้ง เราจะพบ 0! ซึ่งในบทความนี้ เราจะนำเสนอว่าทำไมเราถึงต้องนิยาม 0! และ ค่าของ 0! มีค่าเท่าไหร่ โดยชี้ให้เห็นจากเรื่องความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น
ถ้าในห้องๆหนึ่งมีนักเรียนจำนวน 4 คน คือ A B C และ D เราจะสามารถเรียงคนสามคนจากสี่คนนี้เป็นแถวหน้ากระดานได้กี่แบบ
วิธีที่ 1 การเขียนเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นออกมา
วิธีที่ทำความเข้าใจได้ดีที่สุดก็คือ การเขียนเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นทั้งหมดออกมา
ABC ABD ACB ACD ADB ADC
BAC BAD BCA BCD BDA BDC
CAB CAD CBA CBD CDA CDB
DAB DBC DBA DBC DCA DCB

จะสังเกตได้ว่ามีจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด 24
เพราะฉะนั้น การเรียงนักเรียน 3 คน จาก 4 คน มีความเป็นไปได้ 24 แบบ

วิธีที่ 2 Multi Stages
วิธีนี้ความจริงก็คือ การใช้วิธีคิดจากวิธีที่ 1 แบบมีระบบ จากโจทย์ เราต้องการเรียงนักเรียนสามคน จากสี่คนเป็นแถวหน้ากระดาน หรือ เรามีสาม ตำแหน่ง แล้วเราต้อง จับคนมาวางไว้ในแต่ละตำแหน่ง จะเห็นได้ว่า
ในตำแหน่งแรกนั้น เรามีตัวเลือกให้เลือกมาวางในตำแหน่งนี้ 4 ตัวเลือก (ใครก็ได้สามารถมาอยู่ในตำแหน่งนี้)
ในตำหน่งที่สอง นั้น เมื่อหนึ่งคนถูกจัดให้มาอยู่ในตำแหน่งแรก เราจึงเหลือ 3 ตัวเลือกให้เลือกมาลงในตำแหน่งที่สอง
ในตำแหน่งที่สาม เราจึงมี 2 ตัวเลือก

เพราะฉะนั้น ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ 4 x 3 x 2 = 24 แบบ

คราวนี้ผมต้องการที่จะสรุปสูตรออกมา เพื่อให้สอดคล้องกับตัวเลขของโจทย์ซึ่งก็คือ นักเรียน 4 คน, มีตำแหน่งอยู่ 3 ตำแหน่ง แล้วให้ได้ผลลัพธ์ 24
สูตรที่ได้ก็คือ 4! / (4-3)! = 24

เพราะฉะนั้นถ้าเรามีนักเรียนจำนวน n คน แล้วเราจะเรียง r คน เป็นแถวหน้ากระดาน เราจะมีวิธีทั้งหมด n!/(n-r)!

ขั้นตอนสุดท้าย ถ้าผมถามว่า ถ้ามี นักเรียน 4 คน และต้องการเรียง 4 คนเป็นแถวหน้ากระดาน จะมีทั้งหมดกี่วิธี
จากวิธีที่สอง ตำแหน่งแรก จะมีตัวเลือก 4 ตัวเลือก
ตำแหน่งที่สอง จะมีตัวเลือก 3 ตัวเลือก
ตำแหน่งที่สาม จะมีตัวเลือก 2 ตัวเลือก
ตำแหน่งสุดท้าย จะมีตัวเลือก 1 ตัวเลือก
เพราะฉะนั้นการเรียง 4 คน จาก คนทั้งหมด 4 คน มีความเป็นไปได้ทั้งหมด 4 x 3 x 2 x 1 = 4! ***
แต่จากสูตรที่เรามี เราเรียงคน 4 คน ( นี่คือ ค่า r ) จากคนทั้งหมด 4 คน ( นี่คือ ค่า n ) คือ 4! / (4-4)! = 4! จาก ***
เพราะฉะนั้น 4! / 0! = 4! เพราะฉะนั้น 0! = 1

แนบไฟล์